Aprendizaje por ABN

ABN (Aprendizaje basado en Números)

Como elemento de Investigación en este blog quiero hacer referencia a un tema que cada día está más  de moda en el mundo de las matemáticas, el Aprendizaje Basado en Números (ABN). El ABN es un aprendizaje alternativo a la enseñanza tradicional, se trata de un aprendizaje abierto, que permite a groso modo llegar a la solución de diferentes formas. Es un método enriquecedor para los alumnos, pero que también presenta sus dificultades. En secundaria se necesita un proceso de adaptación. Se trata de un método de cálculo que va a ampliar los conocimientos de los alumnos, ya que son capaces de calcular diferentes operaciones en el mismo proceso. En el siguiente enlace podemos leer bastante información acerca del ABN. https://aulasiena.com/que-es-el-metodo-abn/

Veamos también algunos videos donde nos explican el funcionamiento del método ABN.

https://www.youtube.com/watch?v=dR0WfGuaIQc

https://www.youtube.com/watch?v=nfGiHlsZtaM

Como opinión personal creo que el ABN, puede abrir un amplio abanico en el mundo de las matemáticas, ya que quizás a través de este método se consiga acabar con la idea tradicional de que las matemáticas son un “rollo”. Ya son multitud de colegios en Andalucía los que usan este tipo de método y se ha podido comprobar los beneficios que han  obtenido los alumnos. Quién sabe si puede ser esta la puerta para reducir también en parte el abandono escolar y como pueden reaccionar ante este tipo de aprendizaje alumnos con necesidades educativas especiales. Al ser tan novedoso se nos crean multitud de incógnitas, pero no hay que tener miedo al cambio. Será más enriquecedor si conseguimos fusionar ambos métodos.

Didáctica de la proporcionalidad Geométrica

Queremos destacar la siguiente noticia, donde nuestros profesores han recolectado algunos ejercicios que han realizado diferentes alumnos de manera errónea en relación a los problemas de proporcionalidad compuesta. Queremos mostraros un ejemplo de ejercicio resuelto por un alumno en años anteriores, donde realizando un problema de proporcionalidad compuesta y reduciendo a la unidad, comete errores. Los profesores han querido mostrar estos errores a sus alumnos para que ellos mismo aprendan a modo de feeback basándose en los errores más comunes. Veamos entonces el enunciado del problema:

Si 18 camiones transportan 1200 contenedores en 12 días. ¿Cuantos días necesitaran 20 camiones para mover 1600 contenedores?

Errores al analizar la relación directa o inversa:

Uno de los errores más comunes que suelen cometer los alumnos es analizar mal la relación de las proporcionalidades, es decir, definir si es inversa o directa. Este tipo de error a la hora de realizar la operación de reducción a la unidad suele ocurrir al confundir cuando deben multiplicar y cuando dividir. Veamos el ejemplo del problema anterior:

Si en el ejercicio anterior  volcamos todos los datos nos quedaría:

Camiones	Contenedores	Días
18	1200	12
20	1600	x

La relación entre camiones y días tenemos que es inversa, porque a más camiones, tardarán menos días. Y la relación entre contenedores y días es directa, ya que si hay más contenedores tardarán más días en llevarlos.  Es aquí donde muchos alumnos cometen el primer erro, el cual no va a permitir llegar a la solución del problema.

Errores al reducir a la unidad

Otros de los errores más comunes en este tipo de ejercicio y con este método, es a la hora de reducir a la unidad, equivocarse si deben multiplicar o si deben dividir. Muchos vienen determinados por hacer mal el paso anterior y otros por no entender bien proceso de reducir a la unidad.

Veamos el ejemplo:

-Reducimos el nº de camiones a la unidad (18/18). Entonces si la relación de camiones y días es inversa, como hemos dividido el número de camiones para llegar a la unidad, tenemos  que multiplicar el nº de días por 18. Muchos alumnos suele equivocarse y multiplicar ambos, por lo que nos llevaría a error.

-Ahora tenemos que reducir el nº de contenedores a la unidad y teniendo en cuenta que la relación es directa, si dividimos (1200/1200) para quedarnos con 1 contenedor tenemos que dividir por 1200 el resultado de la multiplicación de 12 *18 realizada anteriormente (216/1200= 0’18). Otro error frecuente es olvidarse de reducir el segundo dato a la unidad.

-De esta manera tenemos que 1 camión llevando 1 contenedor tarda 0’18 días. Ahora pasamos estos datos para resolver la incógnita.

-Necesitamos saber cuánto tardaran 20 camiones por lo que multiplicamos 1*20 = 20; volvemos a ver que la relación es inversa más camiones, menos días. Entonces 0’18/20 = 0’009

-Por último tenemos que pasar el número de contenedores al dato de la incógnita (1600). Por lo que tenemos que multiplicar 1*1600= 1600. Como esta relación es directa y hemos multiplicado, multiplicamos también el número de días por 1600 (1600*0’009= 14’4)

En definitiva podemos afirmar que el método de reducción a la unidad es una manera muy útil para resolver estos problemas, no porque sea sencillo, ya que es más laborioso, pero el saber realizar bien todos estos pasos y sobre todo comprenderlos, nos facilitará el saber resolver problemas más complejos, además de conocer el porqué de las operaciones.

Proporcionalidad Geometrica

Teorema de Thales

Os presentamos en la siguiente noticia como han estudiado los alumnos de 6º de Primaria el Theorema de Thales.

Para empezar los alumnos han visualizado el siguiente video del profesor Alex (Intro al Teorema de Thales), donde se hace una Introducción al Teorema de Thales, explicando las dos visiones que tiene. Tras visualizar el video han hecho una pequeña actividad en grupo, buscando información sobre Thales. Cada grupo debía buscar información en Internet sobre Thales de Mileto y hacer un pequeño mural explicando la utilidad del Teorema de Thales.

Como bien sabemos gracias a este teorema podemos calcular diferentes puntos, gracias a la razón de proporcionalidad. Por ejemplo podemos calcular la longitud de diferentes segmentos correspondientes, podemos calcular el área de un triángulo si partimos de otro triángulo semejante, etc.

Una vez terminados los murales, cada grupo ha tenido que exponer el suyo. Explicando que les había parecido interesante y como habían entendido el Teorema de Thales.

Actividades

En la siguiente sesión los profesores han planteado una serie de ejercicios a sus alumnos, para que practicaran con los contenidos trabajados. Veamos el primer ejemplo y como solucionarlo e intenta realizar los demás por tu cuenta.

1.     Un árbol de 5 metros de alto proyecta una sombra de 6 metros. ¿Cuál es la altura de un edificio que a la misma hora proyecta una sombra de 270 metros?

 Si nos vamos a la aplicación del teorema y apoyándonos en un dibujo para poder visualizar mejor el problema, podemos observar que tenemos varios datos. La altura del árbol (5m) la sombra proyectada por la casa (270m) y la sombra proyectada por el árbol (6m). El problema nos plantea conocer la altura de la casa.

Forma de resolverlo 1

El Teorema de Thales nos dice si dos rectas son cortadas por un sistema de rectas paralelas, los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a los correspondientes a la otra. Por lo tanto si queremos calcular la altura del edificio (x), sabemos la altura del arbol (5 metros). Entre estos dos lados no sabemos la razón de proporcionalidad, pero busquemos otros dos lados. Sabemos que la sombra del arbol son 6 metros y la sombra del edificio son 270 metros. Estos lados son correspondientes por lo que si dividimos 270 entre 6 nos dará la razón de proporcionalidad (45).

Ahora que ya sabemos la razon podemos hallar la altura del edificio, ya que sabemos que la altura del edificio es 45 veces la altura del arbol. 45x5=225 

225 metro es la altura del edificio.

 Forma de resolverlo 2

Según el Teorema de Thales dado un triángulo ABC (formado por altura del edificio, sombra del edificio y rayos del sol), si se traza un segmento paralelo, B'C' (altura del árbol), a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC”

270/6 = X/ 5; 270*5 = 6X; 1350/6 = X; X= 225

Intenta realizar por tu cuenta los ejercicios:

1) Estos dos triángulos son semejantes. Calcula la longitud de los lados que le faltan a cada uno de ellos:

2) Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 12 metros en el momento en que otro árbol que mide 2,5 m proyecta una sombra de 4 metros. 

Magnitudes Proporcionales

Hoy nuestros alumnos de 6º de Primaria, han estudiado las magnitudes proporcionales. Además de realizar diversas actividades, han estudiado conceptos como: razón y proporcionalidad. En este artículo vamos a hacer un breve resumen de los contenidos estudiados, así como de las actividades.

Contenidos vistos en clase:

Razón

Es un vínculo entre dos magnitudes que pueden compararse entre sí.  La razón sería el resultado de dividir una de las magnitudes por la otra.

A/B= 2 (esta seria la razón)

Proporción

Una proporción es la igualdad entre dos razones 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑. La proporción está formada siempre por cuatro términos: 𝑎 y 𝑑 se llaman extremos, 𝑏 y 𝑐 se llaman medios. En todas las proporcionescumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a/b=c/d ; a*d=b*c

Proporcionalidad directa

Para estudiar la proporcionalidad directa los alumnos han visualizado el siguiente video de Daniel Carreón. https://www.youtube.com/watch?v=nP9SwAqhVTI

Proporcionalidad inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar (dividir) una de ellas por un número distinto de cero, la otra queda dividida (multiplicada) por ese mismo, es decir, dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción.

Proporcionalidad Compuesta

Tendremos un problema de proporcionalidad compuesta si intervienen en el 3 o más magnitudes. Las magnitudes al ser más de dos tenemos que estudiarlas de dos en dos. Comprobando si entre ellas existe una proporcionalidad directa o inversa. Podemos encontrar que todas sean directas, todas inversas, una inversa otra directa o al revés. Lo importante en estos casos es saber diferenciar entre directa e inversa para poder solucionar los problemas.

Como complemento a estos conceptos los alumnos han visto los videos de Susi Profe, donde se explica los dos procesos que podemos realizar para solucionar los problemas. 

Proporcionalidad directa

Proporcionalidad inversa

Proporcionalidad directa 

Actividades:

Ahora os mostramos las actividades que han planteado los profesores a sus alumnos para comprobar que los contenidos han sido asimilados. Intenta resolverlas usando ambos métodos.

1)       Al llegar al hotel nos han dado un mapa con los lugares de interés de la ciudad, y nos dijeron que 5 centímetros del mapa representaban 600 metros de la realidad. Hoy queremos ir a un parque que se encuentra a 8 centímetros del hotel en el mapa. ¿A qué distancia del hotel se encuentra este parque?

2)       Hemos comprado 3 kg de manzanas y nos han cobrado 3,45 euros. ¿Cuánto costará 1 kg, 2 kg y 5 kg?

3)       Si seis pintores necesitan 54 días para pintar un edificio. ¿En cuánto tiempo lo pintarán 18 pintores?

4)       Con 12 kg de pienso, 9 conejos comen durante 6 días. ¿Cuántos días tardarán 9 conejos en comerse 8 kg de pienso?

Soluciones

1)   960m

2)   1,15 €

3)   18 días

4)   4 días

Didáctica de la Geometría

Hoy en nuestro centro los alumnos de 6º de Primaria han realizado un tangram con el objetivo de seguir aprendiendo Geometría a través de las matemáticas manipulativas. Veamos los pasos que han seguido para la elaboración del tangram y qué tipo de actividades han realizado con él.

Elaboración del tangram

Para crear el tangram los alumnos han visualizado previamente el siguiente video, donde se le dan una serie de instrucciones. https://www.youtube.com/watch?v=7wWQWUWHr5U

Una vez visualizado el video han comenzado con la creación del tangram. Para fomentar el trabajo en equipo, los alumnos han realizado el tangram en parejas, cooperando entre ellos. Los materiales que han usado son:

-Folio, lápiz, regla, goma de borrar y goma eva.

Queremos destacar el porqué se ha elegido este video para la creación del tangram, ya que creemos que tiene un valor añadido. Al crear el tangram realizando pliegues en un folio, los alumnos pueden comprobar cómo dentro de una figura geométrica podemos hallar multitud de otras figuras.

Actividades realizadas

Algunas de las actividades que han tenido que realizar los niños son las siguientes.

1)      Construye un cuadrado con dos triángulos. ¿Cuántos cuadrados con dos triángulos puedes construir?

2)      ¿Con los mismos triángulos puedes construir un paralelogramo?

3)      ¿Construye con todos los triángulos un rectángulo?

4)      ¿Mientras construíamos el tangram has hallado en algún momento el punto medio de un triangulo? Razona la respuesta.

5)      Construye un rectángulo, con el paralelogramo y dos triángulos.

6)      Diviértete construyendo estas figuras:

Geometría

Hoy queremos hacernos eco de las actividades llevadas a cabo por alumnos de 5º de Primaria de nuestro centro en relación a la Geometría. Han realizado una sesión donde han visualizado los diferentes puntos que se pueden hallar en un triangulo atendiendo a diferentes pautas. Estos puntos son: baricentro, circuncentro, ortocentro e incentro. Los contenidos mostrados a continuación forman parte de los contenidos mostrados a los niños en el aula.

Hallar el Baricentro

Para hallar el baricentro es necesario que sepamos lo que es una mediana y como hallarla. La mediana es una recta que va desde un vértice del triangulo al punto medio del lado opuesto, dividiendo al triangulo en dos triángulos con el misma área. Si dibujamos las 3 medianas veremos que coinciden en un punto medio, el cual es el Baricentro

Hallar el Circuncentro

Para localizar el Circuncentro en un triángulo tenemos que conocer que es una mediatriz y cómo podemos hallarla. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio. Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro (centro de la circunferencia circunscrita).

Hallar el Ortocentro

Cuando queremos buscar el Ortocentro en un triángulo tenemos que dibujar las alturas. La altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto. Las alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado Ortocentro.

Hallar el Incentro

Para localizar el Incentro de un triángulo necesitamos saber dibujar las bisectrices de cada ángulo. Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto, este punto es el Incentro (centro circunferencia inscrita).

Más sobre Geometría

Para tener más información importante sobre Geometría mira estos interesantes vídeos: 

Clasificación de ángulos

Calcular áreas

Calcular áreas y perímetros

Didactica de la Aritmetica

Diagrama de Freudenthal (Muro de fracciones)

Hoy queremos destacar la actividad que ha llevado a cabo nuestros alumnos de 5º de Primaria. Donde han construido un "muro de fracciones" o Diagrama de Freudenthal. La finalidad de la construcción de este muro es facilitar la comprensión de los números racionales, a la vez que trabajan con una herramienta manipulativa. A través de este Diagrama los alumnos van a poder encontrar fracciones equivalentes, compararlas y entender mejor su significado. A su vez nos parece interesante la creación del muro de fracciones con un ordenador, potenciando así el uso de las Tecnologías en la Educación. Veamos los pasos que han seguido para la construcción.

Diagrama de Freudenthal (creado en Word)

Elaboración de Diagrama de Freudenthal.

Para la creación de este diagrama vamos a usar un ordenador con el programa Word y su herramienta de tablas. En primer lugar  debemos crear una tabla con tantas filas como números de fracciones queramos usar. En este caso vamos a optar por hacerlas hasta 1/10, pero podemos seguir dividiéndola tantas veces como queramos.

La construcción es muy fácil, una vez creada la tabla solo tenemos que pinchar encima de la segunda fila con el botón derecho y seleccionar dividir celda, dividir en 2 columnas. Los demás pasos son todos iguales salvo que el número de columnas irá aumentando progresivamente.

Cuando hayamos completado todas las divisiones, solo nos queda completar la tabla con sus correspondientes fracciones, colorearla y darle el tamaño que queramos.

Este tipo de tabla nos va a permitir tener una herramienta manipulativa y con multitud de aplicación para que podamos aprender más sobre “las fracciones”.

Practicar con el Muro de fracciones

Ahora vamos a usar y manipular el muro de fracciones que hemos construido. Tenemos que recortar el muro de fracciones por todas las líneas divisorias. Cuando tengamos el muro de fracciones recortado podemos empezar a practicar con él.

Veamos las siguientes propuestas de trabajo con el muro de fracciones. Practica con ellas y si se te ocurren otras, ¡estaré encantado de verlas!

1)      Si cogemos 1/4 + 1/4, ¿qué otras fracciones podemos unir para tener la misma cantidad?

2)      Comprueba si estos resultados son correctos, usando el muro de fracciones:

a. 4/5<3/6

b. 2/3>3/7

c. 2/6=3/9

d. 1/10 + 1/9 + 1/7 >1/4

3)      Si tengo  1/2  ¿también puedo decir que tengo 3/6? 

Aritmetica

Números racionales

Para abordar el tema de los números racionales hoy nuestro alumnos de 4º de Primaria han realizado un repaso de las fracciones.

Fracciones

Las fracciones son la forma de representar las partes de un todo. Es decir  una fracción representa las partes en las que dividimos un elemento. Por ejemplo si tengo una tableta de chocolate dividida en 10 partes iguales, tendré 10/10.

 Si de esas 10 partes cogemos 6, estaremos cogiendo 6/10

Como  vemos en los dos ejemplos anteriores las fracciones están formadas por dos números separados por una barra horizontal. El primero de ellos es el numerador (6) y el segundo es el denominador (10). El numerador nos indica en este caso cuantas partes del total cogemos y el denominador indica en cuantas partes iguales está dividido este total.

Repasado el concepto de fracción prestemos atención a la siguiente noticia.

"En un estudio recientemente realizado se han obtenido los siguientes datos en relación al porcentaje de niños y niñas de 10 años que tienen teléfono móvil propio.

-6 de cada 10 niños tienen teléfono móvil propio. 3 de cada 10 comentan que tienen acceso al teléfono móvil de sus padres y 1 de cada 10 no tienen acceso a ningún móvil.

-5 de cada 10 niñas tienen teléfono móvil propio. 4 de cada 10 comentan que tienen acceso al teléfono móvil de sus padres y 1 de cada 10 no tienen acceso a ningún móvil."

Vamos a escribir los datos en fracciones:   

6 de cada 10 = 6/10 = 3/5 (simplificamos*)

3 de cada 10 = 3/10 

1 de cada 10 = 1/10

5 de cada 10 = 5/10 = 1/5 (simplificamos*)

4 de cada 10 = 4/10 = 2/5 (simplificamos*)

1 de cada 10 = 1/10

*Para recordar cómo se simplificaba las fracciones visualizar el siguiente video de Aprendópolis:

simplicar fracciones 

Posteriormente seguiremos ampliando este apartado de las fracciones con otras noticias.

 Números decimales

Los alumnos de 5º de Primaria han realizado hoy en clase una sesión dedicada a los numeros decimales. Para empezar han repasado el concepto de número decimal.
Concepto: un número decimal consta de dos partes: la parte entera (a la izquierda de la coma, y la parte decimal a la derecha de la coma. Podemos expresar cualquier fracción mediante números decimales. Para profundizar en la parte teórica sobre los números decimales los profesores han  propuesto estos dos videos de un profesor.com y Matemáticas profe Alex.

Que son los numeros decimales

Clasificación de los decimales  

Pasar de numero decimal a fracción y de fracción a numero decimal.

Cuando los alumnos han repasado el concepto y otros puntos de los números decimales. Se les han propuesto unos contenidos nuevos. Han aprendido a pasar un numero decimal a fracción y viceversa. 

FRACIÓN ➩ DECIMAL

Estos han sido parte de los contenidos mostrados por los profesores:
Para pasar de una fracción a un nº decimal debemos realizar la división de la fracción y en función del resultado que nos dé vamos a obtener un tipo de número. Si el resultado de la división es exacto tendremos un º Natural (N). Si la división no es exacta tendremos un tipo de  decimal u otro (ver clasificación de los decimales).

Ejemplo:

10/2=5 (nº Natural)     

11/6= 1,83333.... (Decimal periódico mixto)

10/3= 3,33333...  (Decimal periódico puro)

 DECIMAL➩  FRACCIÓN

Para pasar de un nº decimal a una fracción vamos a realizar la fracción generatriz. Es importante destacar que no se puede realizar si el numero decimal es un nº irracional, ya que tiene infinitas cifras.

Tenemos que tener en cuenta la clasificación de los números decimales, ya que cada tipo de nº decimal tiene una forma diferente de realizar la fracción generatriz, (visualizar el siguiente video sobre la fracción generatriz) https://www.youtube.com/watch?v=Iy7de-ytpxM

Ejercicios:

Tras repasar todos estos contenidos los alumnos han realizado los siguientes ejercicios de repaso:

a)12.5

b)13,3333…

c)8,044444…

d)3,121212…

e)0,5

f)3.045454545….

Estas son las soluciones:
a)25/2
b)40/3
c)362/45
d)103/3
e)1/2
f)67/22